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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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3. Hallar, en cada caso, el dominio, la imagen, las ecuaciones de las asintotas verticales, los ceros, y los conjuntos de positividad y de negatividad de:
a) $f(x)=\ln (x-3)$

Respuesta

Hallemos el dominio:

$x - 3 > 0$

$x  > 3$ • $Domf= (3, +\infty)$



Hallemos la imagen: La función logaritmo natural puede tomar cualquier valor real como salida. Esto significa que la imagen de $f(x)$ es $(-\infty, +\infty)$, lo que es lo mismo:

• $Imf= \Re$ 



Hallemos la asíntota vertical:

Para las funciones logarítmicas evaluamos el límite en el borde del dominio:

$\lim_{{x}\to3^+}\ln (x-3) = -\infty$
 
• Hay AV en $x = 3$



Hallemos los ceros:
$f(x) = 0$ $\ln(x - 3) = 0$ Aplico $e$ de ambos lados y nos queda: $x - 3 = e^0$ $x - 3 = 1$ $x = 4$
•$C^0 = \{4\}$



Conjuntos de positividad y negatividad:

Podés hacer Bolzano teniendo en cuenta el dominio de la función y el cero. O bien, razonarlo observandos el signo de la función: - Positividad ($f(x) > 0$): Esto sucede cuando $x - 3 > 1$, lo que ocurre cuando $x > 4$. Por tanto, el conjunto de positividad es $(4, +\infty)$. - Negatividad ($f(x) < 0$): Esto sucede cuando $0 < x - 3 < 1$, lo que ocurre cuando $3 < x < 4$. Por tanto, el conjunto de negatividad es $(3, 4)$.

•$C^+ = (4, +\infty)$
•$C^- = (3, 4)$
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Avatar Mallo 23 de septiembre 19:46
profe para hacer bolzano seria de -00 a 3 de 3 a 4 y de 4 a +00 no? porque trate de hacerlo pero no me da asi, lo que yo hice fue reemplazar la x con un numero que elegi entre por ejamplo -00 y 3 y puse el 1 pero cuando hago la cuenta me queda ln(-2) me queda negativo, que hago mal 
Avatar Julieta Profesor 26 de septiembre 20:46
@Mallo Hola!! Es porque Bolzano se hace en cuenta teniendo en cuenta el dominio de la función, y el dominio es $(3, +\infty)$. Como el $C^0$ es 4, tenés que plantear solo 2 intervalos donde evaluar la función: $(3, 4 )$ y $(4, +\infty)$.
Avatar Estefania 12 de mayo 19:42
Juli! Consulta, por que da -infinito, si lo estamos evaluando con el 3 por la derecha? 2024-05-12%2019:42:44_8732895.png
Avatar Julieta Profesor 16 de mayo 06:03
@Estefania Hola estefi, porque cuando $x$ tiende a $3^{+}$ (a tres por derecha), todo el argumento del logaritmo tiende a 0 por derecha $0^{+}$ y si penas en la función ln(x) cuando ésta tiende a cero por derecha se va a - infinito. 

Y no, no tenés nunca ln(x) cuando x tiende a cero por izquierda, porque ln no está definida para 0 ni para valores menores a cero.

Con logarítmicas y exponenciales siempre tenés que analizar qué le pasaría a la función $ln(x)$ o $e^x$
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